Filsafat Matematika

Filsafat matematika adalah cabang ilmu filsafat yang bertujuan untuk merefleksikan, dan menjelaskan hakekat matematika. Hal ini merupakan kasus khas dari kegunaan epistemologi yang bertujuan menjelaskan pengetahuan manusia secara umum. Filsafat matematika mengajukan pertanyaan - pertanyaan seperti: Apa dasar dari pengetahuan matematika? Apa hakekat kebenaran matematika? Apa yang mencirikan matematika? Apa pembenaran kebenaran matematika? Mengapa kebenaran matematika dianggap sebagai kebenaran yang mendasar? 

Filsafat matematika pada dasarnya adalah pemikiran reflektif terhadap matematika. Matematika menjadi ilmu pokok soal yang dipertimbangkan secara cermat dan penuh perhatian. Pemikiran filsafati juga bersifat reflektif dalam arti menengok sendiri untuk memahami bekerjannya budi itu sendiri. Ciri relektif yang denikian itu ditekankan oleh para filsuf Inggris R.G. Collingwood yang menyatakan “Philosophy is reflective”. The philosophizing mind never simply thinks about an object; it always, while thinking about any object, think also about its own thought about than object.” (Filsafat bersifat reflektif. Budi yang berfilsafat tidaklah semata – mata berpikir tentang suatu obyek, budi itu senantiasa berpikir juga berpikir tentang pemikirannya sendiri tentang obyek itu). Jadi budi manusia yang diarahkan untuk menelaah obyek – obyek tertentu sehingga melahirkan matematika kemudian juga memantul berpikir tentang matematika sehingga membutuhkan filsafat matematika agar memperoleh pemahaman apa dan bagaimana sesungguhnya matematika itu.

Di antara ahli – ahli matematika dan para filsuf tidak tampak kesatuan pendapat mengenai apa filsafat matematika itu. Sebagai sekedar contoh dapatlah dikutipkan dari perumusan – perumusan dari 2 buku matematika dan 2 buku filsafat yang berikut:

1) Suatu filsafat matematika dapatlah dilukiskan sebagai suatu sudut pandangan yang dari situ pelbagai bagian dan kepingan matematika dapat disusun dan dipersatuja berdasarkan beberapa asas dasar.

2) Secara khusus suatu filsafat matematika pada dasarnya sama dengan suatu percobaan penyusunan kembali yang dengannya kumpulan pengetahuan matematika yang kacau – balau yang terhimpun selama berabad – abad diberi suatu makna atau ketertiban tertentu.

3) Penelaah tentang konsep – konsep dari pembenaran terhadap asas – asas yang dipergunakan dalam matematika

4) Penelaah tentang konsep – konsep dan sistem – sistem yang terdapat dalam matematika, dan mengenai pembenaran terhadap pernyataan – pernyataan berikut.

Dua pendapat yang pertama dari ahli – ahli matematika menitik beratkan filsafat matematika, sebagai usaha menyusun dan menertibkan bagian – bagian dari pengetahuan matematika yang selama ini terus berkembang biak. Sedang 2 definisi berikutnya dari ahli filsafat merumuskan filsafat matematika sebagai studi tentang konsep – konsep dalam matematika dan pembenaran terhadap asas atau pembenaran matematika.

Menurut pendapat filsuf Belanda Evert Beth di sampingnya matematika sendiri dan filsafat umum harus pula dibedakan adanya 2 bidang pemikiran lainya, yakni filsafat matematika dalam arti yang lebih luas (philosophy of mathematics in a broader sense) dan penelitian mengenai landasan matematika (foundation mathematics). Landasan matematika kadang – kadang disamakan pengertiannya dengan filsafat matematika. Tetapi sesungguhnya landasan matematika merupakan bidang pengetahuan yang palling sempit dari bidang filsafat matematika. Foundation of mathematics khususnya bersangkut paut dengan konsep – konsep asas foundamental (fundamental concepts and principles) yang mempergunakan dalam matematika. Dengan demikian kedua definisi philosophy of mathematics dari kamus – kamus filsafat tersebut diatas lebih merupakan batasan pengertian matematika. Charles Parsons dalam The Encyclopedia of Philosophy menegaskan:

Penelitian landasan senantiasa bersangkutan dengan masalah tentang pembenaran terhadap pernyataan – pernyataan dan asas – asas matematika, dengan pemahaman mengapa proporsisi – proporsisi tertentu yang jelas sendirinya adalah demikian, dengan pemberian pembenaran terhadap asas – asas yang telah diterima tampaknya tidak sendirinya begitu jelas, dan dengan penemuan dan penanggalan asas – asas yang tak terbebankan.)

Peran filsafat matematika adalah untuk menunjukkan dasar yang sistematis dan benar-benar aman untuk pengetahuan matematika, diperuntukkan  untuk kebenaran matematika.
            Asumsi ini adalah dasar dari foundationism, doktrin bahwa fungsi dari filsafat  matematika adalah untuk menunjukkan dasar pengetahuan matematika. Foundationism terikat dengan pandangan absolutis pengetahuan matematika, karena menganggap tugas pembenaran pandangan ini menjadi tujuan utama filsafat matematika.

1.2.       Hakikat Pengetahuan Matematika

Secara tradisional, matematika telah dipandang sebagai paradigma pengetahuan tertentu. Euclid mendirikan sebuah struktur logis yang megah hampir 2.500 tahun lalu dalam Elements, yang sampai akhir abad kesembilan belas diambil sebagai paradigma untuk mendirikan kebenaran dan kepastian. Newton menggunakan bentuk Elemen di dalam bukunya Principia, dan Spinoza dalam Etika, untuk memperkuat klaim mereka atas penjelasan kebenaran sistematis. Dengan demikian matematika telah lama diambil sebagai sumber pengetahuan yang paling tertentu yang dikenal bagi umat manusia. 

Sebelum menyelidiki sifat pengetahuan matematika, pertama-tama perlu untuk mempertimbangkan sifat pengetahuan pada umumnya. Jadi kita mulai dengan bertanya, apakah pengetahuan? Pertanyaan tentang apa yang merupakan pengetahuan inti dari filsafat, dan pengetahuan matematika memainkan suatu peranan penting. Jawaban filsafat standar untuk pertanyaan ini adalah bahwa pengetahuan adalah keyakinan yang dibenarkan. Lebih tepatnya, bahwa pengetahuan awalnya terdiri dari dalil yang dapat diterima (yaitu, percaya), asalkan ada alasan yang memadai untuk menegaskannya. (Sheffler, 1965; Chisholm, 1966; Woozley, 1949).
            Pengetahuan diklasifikasikan atas dasar alasan untuk pernyataan tersebut. Pengetahuan apriori terdiri dari dalil yang ditegaskan berdasarkan pemikiran  sendiri, tanpa jalan lain untuk pengamatan dunia. Berikut alasan penggunaan logika deduktif dan makna istilah, biasanya dapat ditemukan dalam definisi. Sebaliknya, empiris atau pengetahuan posteriori terdiri dari dalil menegaskan berdasarkan pengalaman, yaitu, berdasarkan pengamatan dunia (Woozley, 1949). 

Pengetahuan matematika diklasifikasikan sebagai pengetahuan prioritas, karena terdiri dari dalil menegaskan berdasarkan nalar semata. Termasuk alasan logika deduktif dan definisi yang digunakan, dalam hubungannya dengan seperangkat asumsi aksioma atau postulat matematika, sebagai dasar untuk menyimpulkan pengetahuan matematika. Jadi dasar pengetahuan matematika, yang merupakan alasan untuk menyatakan kebenaran dalil matematika, terdiri dari buktI deduktif.

            Bukti dari dalil matematika adalah rentetan yang terbatas dari pernyataan akhir pada dalil, yang memenuhi sifat berikut. Setiap pernyataan merupakan aksioma diambil dari seperangkat aksioma sebelumnya, atau diturunkan dengan aturan kesimpulan dari satu atau lebih pernyataan yang terjadi sebelumnya dalam urutan. Istilah 'sekumpulan aksioma' dipahami secara luas, untuk memasukkan apa pun pernyataan diterima menjadi bukti tanpa demonstrasi, termasuk aksioma, dalil-dalil dan definisi.

Diberikan sebuah contoh membuktikan pernyataan berikut '1 + 1 = 2 'dalam sistem aksiomatik aritmatika Peano. Untuk bukti ini kita membutuhkan definisi dan aksioma s0 = 1, s1 = 2, x + 0 = x, x + sy = s (x + y) dari Aritmatika Peano, dan aturan inferensi logis dari P (r), r = t ⇒ P (t); P (v) ⇒ P (c) (di mana r, t, v, c, dan P (t) kisaran lebih dari istilah; variabel, konstanta, dan dalil dalam istilah t, masing-masing, dan ' '⇒menandakan implikasi logis) .2 Berikut ini adalah bukti 1 + 1 = 2: x + sy = s (x + y), 1 + sy = s (1 + y), 1 + s0 = s (1 + 0), x +0 = x, 1 +0 = 1, 1 + s0 = s1, s0 = 1, 1 +1 = s1, s1 = 2, 1 +1 = 2.
            Penjelasan tentang bukti ini adalah sebagai berikut. s0 = 1 [D1] dan s1 = 2 [D2] adalah definisi dari konstanta 1, dan 2 masing-masing, dalam Aritmatika Peano, x +0 = x [A1] dan x + sy = s (x + y) [A2] adalah aksioma Aritmatika Peano. P (r), r = t ⇒ P (t) [R1] dan P (v) ⇒ P (c) [R2], dengan simbol-simbol seperti dijelaskan di atas, aturan logis dari inferensi. Pembenaran bukti, pernyataan demi pernyataan seperti yang ditunjukkan pada Tabel 1.1. 

Tabel 1.1: Bukti 1 +1 = 2 dengan pembenaran

Langkah	Kalimat	Pembenaran dari kalimat
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10	x + sy = s ( x + y ) 1 +  sy = s ( 1 + y) 1 + s0  = s ( 1 + 0) x + 0  = s 1 + 0   = 1 1 + s0  = 1 s0 = 1 1 + 1 = s1 s1 = 2 1 + 1 = 2	A2  R2 diterapkan pada S1, menggunakan v = x, c = 1 R2 diterapkan pada S2, menggunakan v = y, c = 0 A1  R2 diterapkan pada S4, menggunakan v = x, c = 1 R1 diterapkan S3 dan S5, menggunakan r = 1 + 0, t =1 D1 R1 diterapkan S6 dan S7, menggunakan r = s0, t = 1 D2 R1 diterapkan S8 dan S9, menggunakan r = s1, t = 2

            Bukti ini memperlihatkan '1 + 1 = 2 'sebagai pokok pengetahuan matematika atau kebenaran, menurut analisis sebelumnya, karena bukti deduktif menetapkan jaminan logis untuk menegaskan pernyataan itu. Selanjutnya adalah pengetahuan priori, karena ditegaskan berdasarkan nalar semata. 

Namun, apa yang belum jelas adalah dasar  asumsi yang dibuat dalam pembuktian. Asumsi yang dibuat terdiri dari dua jenis: asumsi matematika dan asumsi logis. Asumsi matematika yang digunakan adalah definisi (D1 dan D2) dan aksioma (A1 dan A2). Asumsi logis adalah aturan kesimpulan yang digunakan (R1 dan R2), yang merupakan bagian yang mendasari bukti dari teori, dan kalimat yang mendasari bahasa formal. 

            Kami menganggap pertama asumsi matematika. Definisi, menjadi definisi yang eksplisit, yang bukan merupakan persoalan, karena pada prinsipnya mereka dapat disingkirkan. Setiap pemunculan dari istilah yang didefinisikan 1 dan 2 dapat digantikan oleh apa yang disingkat (s0 dan ss0, masing-masing). Hasil menghilangkan definisi ini adalah bukti disingkat: x + sy = s (x + y), s0 + sy = s (S0 + y), s0 + s0 = s (s0 +0), x +0 = x, s0 +0 = s0, s0 + s0 = ss0; membuktikan 's0 + s0 = ss0', yang mewakili '1 +1 = 2 '. Meskipun definisi eksplisit disingkat pada prinsipnya, itu tetap merupakan kenyamanan yang tak diragukan, belum lagi bantuan untuk berpikir, untuk mempertahankan mereka. Namun, dalam konteks ini kita prihatin untuk mengurangi asumsi-asumsi yang minimum mereka, untuk mengungkapkan asumsi yang tak dapat dikurangi pengetahuan matematika dan pembenaran.

            Jika definisi tidak eksplisit, seperti dalam definisi asli dari induktif Peano (Heijenoort, 1967), yang diasumsikan di atas sebagai sebuah aksioma, dan bukan sebagai definisi, maka definisi tidak akan eliminable pada prinsipnya. Dalam hal ini masalah dasar definisi, yaitu asumsi yang menjadi landasannya, analog dengan aksioma.
            Aksioma tidak terlepas pada pembuktian. Mereka harus dianggap baik sebagai kebenaran aksiomatik, atau hanya mempertahankan pembenarannya, asumsi sementara, diadopsi untuk memungkinkan perkembangan dari teori matematika yang sedang dipertimbangkan. Kami akan kembali ke hal ini. 

Asumsi logis, yaitu aturan inferensi (bagian dari bukti teori keseluruhan) dan sintaks logis, diasumsikan sebagai bagian dari logika yang mendasarinya, dan merupakan bagian dari mekanisme yang dibutuhkan untuk aplikasi alasan. Jadi logika diasumsikan sebagai landasan bermasalah untuk pembenaran pengetahuan.
Singkatnya, kebenaran matematika SD '1 +1 = 2 ', tergantung untuk pembenaran pada bukti matematika. Hal ini pada gilirannya tergantung pada asumsi sejumlah pernyataan matematika dasar (aksioma), serta pada logika yang mendasarinya. Secara umum, pengetahuan matematika terdiri dari pernyataan dibenarkan oleh bukti-bukti, yang tergantung pada aksioma matematika (dan logika yang mendasari).
Akun ini pengetahuan matematika pada dasarnya adalah yang telah diterima selama hampir 2.500 tahun. Presentasi awal pengetahuan matematika, Elemen Euclid, berbeda dari data di atas hanya dengan derajat. Dalam Euclid, pengetahuan matematika didirikan oleh deduksi logis dari aksioma dan postulat theoremsfrom (yang kita termasuk di antara aksioma). Logika yang mendasari dibiarkan tidak ditentukan (selain pernyataan dari beberapa aksioma mengenai hubungan kesetaraan). Aksioma-aksioma tidak dianggap sebagai asumsi sementara diadopsi, diadakan hanya untuk pembangunan teori di bawah pertimbangan. Aksioma dianggap kebenaran dasar yang diperlukan tidak ada pembenaran, bukti luar diri mereka sendiri (Blanche, 1966) . 3 Karena itu, account klaim untuk menyediakan dasar untuk pengetahuan matematika tertentu. Sebab bukti logis mempertahankan kebenaran dan diasumsikan aksioma yang jelas kebenaran, maka setiap teorema yang berasal dari mereka harus juga kebenaran (penalaran ini implisit, tidak eksplisit di Euclid). Namun, klaim ini tidak lagi diterima karena aksioma Euclid dan postulat tidak dianggap kebenaran dasar dan tak terbantahkan, tidak ada yang dapat dinegasikan atau ditolak tanpa mengakibatkan kontradiksi. Bahkan, penolakan beberapa dari mereka, yang paling notablythe Postulat Paralel, hanya mengarah ke badan lain pengetahuan geometris (non-Euclidean geometri).
Selain Euclid, pengetahuan matematika modern mencakup banyak cabang yang bergantung pada asumsi set aksioma yang tidak dapat diklaim sebagai kebenaran universal dasar, misalnya, aksioma teori grup, atau teori himpunan (Maddy, 1984).

 2.3. Pandangan Absolutis Pengetahuan Matematika

Pandangan absolutis pengetahuan matematika adalah bahwa hal itu terdiri dari kebenaran tertentu dan tak tertandingi. Menurut pandangan ini, pengetahuan matematika terdiri dari kebenaran absolut, dan mewakili ranah pengetahuan tertentu yang unik, terpisah dari logika dan pernyataan benar berdasarkan arti istilah, seperti 'Semua bujangan belum menikah'. Banyak filsuf, baik modern dan tradisional, memiliki pandangan absolutis pengetahuan matematika. Jadi menurut Hempel:
validitas matematika berasal dari ketentuan yang menentukan arti dari konsep-konsep matematika, dan bahwa proposisi matematika karena itu pada dasarnya 'benar menurutdefinisi'.
            Dalam pemikiran absolut, dinyatakan bahwa Mathematics is the one and perhaps the only realm of certain, unquestionable and objective knowledge  yang maksudnya adalah Matematika adalah suatu kemungkinan dan kenyataan yang tak terbantahkan dan merupakan ilmu pengetahuan yang objektif. Sedangkan secara fallibilis, Mathematica truth is corrigible, and can never regarded as being above revision and correction, yang maksudnya adalah  kebenaran Matematika dapat dibenarkan dan tidak pernah bisa ditentang, diperbaiki maupun dikoreksi. Sehingga The Liang Gie dalam bukunya yang berjudul Filsafat Matematika menyatakan bahwa Filsafat Matematika merupakan sudut pandang yang menyusun dan mempersatukan berbagai bagian  dan kepingan Matematika berdasarkan beberapa asas dasar.

Lain pendukung kepastian matematika adalah Ajayer yang mengklaim berikut.Sedangkan generalisasi ilmiah mudah mengaku menjadi keliru, kebenaran matematika dan logika tampaknya semua orang perlu dan pasti. Kebenaran logika dan matematika proposisi analitik atau tautologi. Kepastian dari proposisi apriori tergantung pada kenyataan bahwa mereka tautologi. Sebuah proposisi yang tautologi jika analitik. Sebuah proposisi adalah analitik jika benar hanya dalam kebajikan makna simbol consistituent, dan karena itu tidak dapat dikonfirmasi atau dibantah baik oleh faktapengalaman.(Ayer,1946,halaman72,7716,).
            Metode deduktif memberikan surat perintah untuk penegasan matematika
pengetahuan. Dasar-dasar untuk mengklaim bahwa matematika (dan logika) menyediakan mutlak pengetahuan tertentu, yang adalah kebenaran, karena itu sebagai berikut. Pertama-tama, dasar laporan digunakan dalam bukti yang dianggap benar. Aksioma matematika dianggap benar, untuk tujuan mengembangkan sistem yang sedang dipertimbangkan, definisi matematika adalah benar dengan fiat, dan aksioma logis diterima sebagai benar. Kedua, aturan logika ofinference melestarikan kebenaran, adalah mereka memungkinkan apa-apa selain kebenaran yang disimpulkan darikebenaran. Berdasarkan kedua fakta, setiap pernyataan dalam bukti deduktif, termasukkesimpulannya, adalah benar. Jadi, karena teorema matematika semua dibentuk dengan cara bukti deduktif, mereka semua kebenaran tertentu. Ini merupakan dasar dari klaimbanyak filsuf bahwa kebenaran matematika adalah

kebenarantertentu.
            Pandangan absolutis pengetahuan matematika didasarkan pada dua jenis asumsi: orang matematika, tentang asumsi aksioma dan definisi, dan orang-orang logika tentang asumsi aksioma, aturan inferensi dan bahasa formal dan sintaks. Ini adalah lokal atau microassumptions. Ada juga kemungkinan asumsi makro-global atau, seperti aswhether cukup deduksi logis untuk membuat semua kebenaran matematika. Saya kemudian akan menyatakan bahwa masing-masing asumsi melemahkan klaim kepastian untuk pengetahuan matematika. Pandangan absolutis pengetahuan matematika mengalami masalah pada awal abad kedua puluh ketika sejumlah antinomi dan kontradiksi berasal dalam matematika (Kline, 1980; Kneebone, 1963; Wilder, 1965). Dalam serangkaian publikasi Gottlob Frege (1879, 1893) yang didirikan oleh jauh formulasi paling ketat logika matematika yang dikenal pada waktu itu, sebagai dasar untuk pengetahuan matematika. Russell (1902), bagaimanapun, mampu menunjukkan bahwa sistem Frege tidak konsisten. Masalahnya terletak pada Hukum Kelima Dasar Frege, yang memungkinkan menetapkan yang akan dibuat dari perpanjangan konsep apapun, dan untuk konsep atau properti yang akan diterapkan untuk mengatur (Furth, 1964). Russell diproduksi terkenal paradoks nya dengan mendefinisikan properti dari 'tidak unsur itu sendiri. Hukum Frege memungkinkan perpanjangan properti ini dianggap sebagai satu set. Tapi kemudian set ini adalah elemen dari dirinya sendiri jika, dan hanya jika, tidak, kontradiksi. Hukum Frege tidak dapat dijatuhkan tanpa serius melemahkan sistem nya, namun itu tidak bisa dipertahankan.
            Kontradiksi lain juga muncul dalam teori set dan teori fungsi. Temuan tersebut, tentu saja, implikasi besar bagi pandangan absolutis pengetahuan matematika. Karena jika matematika yang pasti, dan semua teorema yang yakin, bagaimana bisa kontradiksi (yaitu, dusta) berada di antara teorema nya? Karena tidak ada kesalahan tentang penampilan kontradiksi-kontradiksi ini, pasti ada yang salah dalam dasar matematika. Hasil dari krisis ini adalah pengembangan dari sejumlah sekolah dalam filsafat matematika yang bertujuan adalah untuk menjelaskan sifat pengetahuan dan matematika untuk membangun kembali kepastian.

2.4. Aliran matematika

Ada tiga aliran yang digunakan sebagai acuan berpikir, yaitu: logicism, formalisme dan Intuisionisme. Aliran pemikiran ini tidak sepenuhnya dikembangkan sampai abad kedua puluh, tapi Korner (1960) menunjukkan bahwa akar filosofis mereka dapat ditelusuri kembali setidaknya sejauh Leibniz dan Kant.

A.    Logisme

Logisme memandang bahwa Matematika sebagai bagian dari logika. Pernyataan ini dikemukakan oleh G. Leibniz. Dua pernyataan penting yang dikemukakan di dalam aliran ini, yaitu:

a.    Semua konsep matematika secara mutlak dapat disederhanakan pada konsep logika

b.    Semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan melalui penarikan kesimpulan secara logika semata.

Tujuan dari tuntutan ini jelas. Jika semua matematika dapat diekspresikan dalam teorema logika murni dan dibuktikan dari prinsip-prinsip logika sendiri, kemudian kepastian dari ilmu matematika dapat dikurangi untuk dan dari logika itu. Logika disadari untuk menyediakan sebuah dasar yang pasti atas kebenaran, sebagian dari ambisi yang berlebihan mencoba untuk menyampaikan logika, seperti hukum Frege yang kelima. Dengan demikian jika membantu, program logika akan menyediakan dasar logika yang pasti untuk pengetahuan matematika, melahirkan kembali kepastian yang mutlak dalam matematika

Whitehead dan Russel (1910-13) mampu membangun yang pertama dari dua tuntutan melalui arti dari defenisi berantai. Bagaimanapun logika dibangun pada tuntutan yang kedua. Matematika meminta aksioma non logika seperti aksioma tidak terbatas (himpunan semua bilangan asli adalah tidak terbatas). Dan aksioma pilihan(hasil cartesian dari himpunan kosong adalah himpunan kosong itu sendiri). Russel mengekspresikannya pada dirinya sendiri sebagai pengikut.

            Tetapi walaupun semua dalil  logika (atau matematika) dapat diekspresikan seluruhnya dalam teorema dari logika konstanta bersama dengan variable, itu bukanlah masalah bahwa, sebaliknya, semua dalil itu dapat diekspresikan dalam cara logika ini. kita telah menemukan sejauh kepentingan tetapi bukan sebuah standar yang perlu dari dalil matematika. Kita perlu menentukan karakter dari ide kuno dalam teorema yang mana semua ide dalam matematika dapat ditentukan. Tetapi bukanlah dalil kuno dari semua dalil dalam matematika dapat dibuktikan secara deduktif. Ini adalah sebuah masalah yang lebih sulit, yang mana belum diketahui apa jawaban seutuhnya.

            Kita boleh mengambil aksioma dari jumlah tak berakhir sebagai sebuah contoh dari dalil yang, mengira itu dapat disebut dalam teorema logika. Tidak dapat dinyatakan oleh logika untuk menjadi benar.

            Dengan demikian, tidak semua teorema dalam matematika dan karenanya tidak semua kebenaran dalam matematika dapat diperolah dari aksioma logika sendiri. Ini berarti bahwa aksioma matematika tidaklah menghapuskan rasa dari logika itu. Teorema matematika tergantung pada sebuah himpunan anggapan matematika yang tidak dapat dibagi lagi.tentu saja, sejumlah aksioma matematika yang penting berdiri sendiri, dan juga mereka atau ingkaran mereka dapat diadopsi tanpa ketidakkonsistenan (Cohen, 1966). Dengan demikian tuntutan yang kedua ditolak.

Untuk mengatasi masalah ini, Russel mundur untuk sebuah versi pelemah dari logistic disebut “jika ketuhanan” yang mana tuntutan itu matematika murni menghadirkan pernyataan implikasi dari bentuk “A →  T”. Menurut pandangan ini, sebelumnya kebenaran matematika dibangun sebagai teorema dengan pembuktian logika. Masing – masing teorema ini (T) menjadi konsekwen dalam pernyataan implikasi. Konjungsi dari aksioma matematika (A) digunakan dalam bukti tergabung dalam pernyataan implikasi sebagai antiseden (dalam Carnap, 1931). Jadi, semua asumsi matematika (A) yang mana tergantung pada teorema sekarang digabungkan ke dalam bentuk teorema yang baru (AT), menghindarkan kebutuhan untuk aksioma matematika.  

            Banyak manipulasi untuk sebuah pengakuan bahwa matematika adalah sistem hipotesis deduktif, dimana konsekwensi dari himpunan asumsi aksioma di eksplorasi, tanpa menegaskan kebenaran yang diperlukan dalam matematika.

            Sayangnya, perangkat ini juga mengarah pada kegagalan, karena tidak semua kebenaran matematika, seperti aritmatika Peano konsisten dapat dinyatakan sebagai pernyataan implikasi seperti pendapat Marchover (1983).

             Keberatan yang kedua, yang terlepas dari validitas dari dua tuntutan logicit, yang merupakan alasan utama untuk menolak formalisme. Ini adalah teorema ketidaklengkapan Godel, yang menetapkan bahwa pembuktian deduktif cukup untuk menunjukkan semua kebeanaran matematika. Oleh karena itu pengurangan kesuksesan dari aksioma matematika untuk logika masih tidak akan cukup untuk derivasi dari semua kebenaran matematika.        

            Keberatan yang ketiga yang mungkin menyangkut kepastian dan keandalan yang mendasari logika. Hal ini tergantung pada keterujian dan pendapat, asumsi yang dibenarkan. 

            Dengan demikian program logika mengurangi kepastian pengetahuan matematika untuk itu logika gagal dalam prinsip. Logika tidak menyediakan dasar yang pasti untuk pengetahuan matematika.

B. Formalisme 

     Dalam istilah populer, formalisme merupakan pandangan bahwa sebuah permainan formal yang tidak berarti yang dimainkan dengan tanda-tanda diatas kertas, mengikuti aturan-aturan. 

            Jejak filsafat dari formalis matematika dapat ditemukan dalam tulisan – tulisan Uskup Berkeley, tetapi pendukung utama formalisme adalah David Hilbert (1925), awalnya J. Von Neumann (1931) dan H. Curry (1951). Program formalis Hilbert bertujuan untuk menerjemahkan matematika kedalam sistem tafsiran formal. Dengan arti yang terbatas tetapi bermakna sistem formal  metamatematika terbukti memadai untuk matematika, dengan menurunkan keformalan dari semua kebenaran matematika, dan aman untuk matematika melalui bukti yang konsisten.

 Menurut Ernest (1991) formalis memiliki dua tesis, yaitu

1.        Matematika dapat dinyatakan sebagai sistem formal yang tidak dapat ditafsirkan sembarangan, kebenaran matematika disajikan melalui teorema-teorema formal.

2.        Keamanan dari sistem formal ini dapat didemostrasikan dengan terbebasnya dari ketidak konsistenan.

Kekuranglengkapan teorema Kurt Godel (Godel, 1931) menunjukkan bahwa program tidak bisa dipenuhi. Teorema yang pertama menunjukkan bahwa tidak semua kebenaran aritmatika dapat diturunkan dari aksioma Peano ( atau beberapa himpunan aksioma yang lebih rekursif luas).

Hasil pembuktian-teori ini sejak itu sudah dicontohkan dalam matematika oleh Paris dan Harrington, yang merupakan teorema versi Ramsey benar tetapi tidak dapat dibuktikan dalam aritmatika Peano (Barwise, 1977). Ketidaklengkapan teorema yang kedua menunjukkan bahwa dalam kasus konsistensi yang diinginkan membuktikan sebuah meta-matematika lebih kuat daripada sistem yang akan dijaga, yang mana jadinya tidak terjaga samasekali. Misalnya, untuk membuktikan konsistensi aritmatika Peano mengharuskan semua aksioma sistem itu dan selanjutnya asumsi, seperti sistem induksi transfinite atas nomor urutan hitung (Gentzen, 1936)

Program formalis, seandainya berhasil, akan memberikan dukungan untuk sebuah pandangan kebenaran absolut matematika. Untuk bukti formal berbasis dalam konsistensi sistem matematika formalakan memberikan ujian untuk kebenaran matematika. Namun, dapat dilihat bahwa dalam  kedua tuntutan formalisme telah disangkal. Tidak semua kebenaran matematika dapat dipresentasikan sebagai teorema dalam sistem formal, dan selanjtunya sistem itu sendiri tidak dapat dijamin kebenarannya.

C.Intuisionisme

Intuisionisme seperti L.E.J. Brouwer (1882-1966), berpendapat bahwa matematika suatu kreasi akal budi manusia. Bilangan, seperti cerita bohong adalah hanya entitas mental, tidak akan ada apabila tidak ada akal budi manusia memikirkannya. Selanjutnya intuisionis menyatakan bahwa obyek segala sesuatu termasuk matematika, keberadaannya hanya terdapat pada pikiran kita, sedangkan secara eksternal dianggap tidak ada. Kebenaran pernyataan p tidak diperoleh melalui kaitan dengan obyek realitas, oleh karena itu intusionisme tidak menerima kebenaran logika bahwa yang benar itu p atau bukan p (Anglin, 1994). Intuisionisme mengaku memberikan suatu dasar untuk kebenaran matematika menurut versinya, dengan menurunkannya (secara mental) dari aksima-aksioma intuitif tertentu, penggunaan intuitif merupakan metode yang aman dalam pembuktian. Pandangan ini berdasarkan pengetahuan yang eksklusifpada keyakinan yang subyektif. Tetapi kebenaran absolut (yang diakui diberikan intusionisme) tidak dapat didasarkan pada padangan yang subyektif semata (Ernest, 1991). Ada berbagai macam keberatan terhadap intusionisme, antara lain; (1) intusionisme tidak dapat mempertanggung jawabkan bahwa obyek matematika bebas, jika tidak ada manusia apakah 2 + 2 masih tetap 4; (2) matematisi intusionisme adalah manusi timpang yang buruk dengan menolak hukum logika p atau bukan p dan mengingkari ketakhinggaan, bahwa mereka hanya memiliki sedikit pecahan pada matematika masa kini. Intusionisme, menjawab keberata tersebut seperti berikut; tidak ada dapat diperbuat untuk manusia untuk mencoba membayangkansuatu dunia tanpa manusia; (2) Lebih baik memiliki sejumlah sejumlah kecil matematika yang kokoh dan ajeg dari pada memiliki sejumlah besar matematika yang kebanyakan omong kosong (Anglin, 1994).